1 有理数
什么是正数和负数？
在我们生活中，有很多具有相反意义的量：零上温度和零下温度、收入和支出、向东和向西。
为了表示这些相反意义的量，我们引入了正数和负数：
- 正数：大于 0 的数，如 +3（正号可省略，写作 3）
- 负数：小于 0 的数，如 −3（负号不可省略）
- 0：既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界
💡 注意：0 既不是正数也不是负数！它是正数和负数的分界点。
有理数的分类
有理数 = 整数 + 分数
- 整数：正整数（1, 2, 3…）、0、负整数（−1, −2, −3…）
- 分数：正分数（1/2, 3/4…）、负分数（−1/2, −3/4…）
数轴
数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。每个有理数都可以在数轴上找到一个对应的点。
上图中，黄点表示 3，红点表示 −3。
相反数
只有符号不同的两个数互为相反数。如 3 和 −3 互为相反数。
a 的相反数是 −a。特别地，0 的相反数是 0。
💡 记住：相反数是成对出现的！不能说"−3 是相反数"，要说"−3 是 3 的相反数"。
绝对值
数轴上表示数 a 的点与原点的距离，叫做 a 的绝对值，记作 |a|。
- 正数的绝对值是它本身：|5| = 5
- 负数的绝对值是它的相反数：|−5| = 5
- 0 的绝对值是 0：|0| = 0
💡 核心结论：绝对值一定是非负数（≥ 0），不会出现负的绝对值！
📝 例题
已知 a = −4，b = 7，求 |a| + |b| 的值。
- 求 |a|：a = −4 是负数，所以 |−4| = 4
- 求 |b|：b = 7 是正数，所以 |7| = 7
- 代入计算：|a| + |b| = 4 + 7 = 11
✏️ 随堂小练
1. |−12| = ?
2. −5 的相反数是？
3. 数轴上 −3 和 0 之间的距离是？
2 有理数的运算
加法法则
- 同号相加：取相同的符号，绝对值相加。
例：(−3) + (−5) = −(3+5) = −8 - 异号相加：取绝对值较大的符号，用较大的绝对值减较小的绝对值。
例：(−7) + 3 = −(7−3) = −4 - 与 0 相加：任何数与 0 相加，结果不变。
减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数。
a − b = a + (−b)
📝 例题
计算：(−8) − (−3)
- 将减法转化为加法：(−8) − (−3) = (−8) + 3
- 异号相加，取绝对值大的符号：|−8| > |3|，取负号
- 用大绝对值减小绝对值：8 − 3 = 5
- 结果：−5
乘法法则
- 两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
- 任何数与 0 相乘都得 0。
例：(−4) × (−3) = +12（同号得正）
例：(−4) × 3 = −12（异号得负）
除法法则
除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。符号法则与乘法相同。
(−12) ÷ (−4) = 3（同号得正）
乘方
求 n 个相同因数 a 的积的运算叫做乘方，记作 aⁿ。
- 底数 a，指数 n，读作"a 的 n 次方"
- 正数的任何次幂都是正数
- 负数的奇数次幂为负，偶数次幂为正
💡 关键：(−2)³ = −8（奇次为负），(−2)⁴ = 16（偶次为正）
注意：−2⁴ = −16（这里只有 2 的 4 次方，负号在外面）
注意：−2⁴ = −16（这里只有 2 的 4 次方，负号在外面）
运算顺序
- 先算乘方，再算乘除，最后算加减
- 有括号的先算括号里面的（由内到外）
- 同级运算从左到右
✏️ 随堂小练
1. (−6) + (−4) = ?
2. (−3) × 5 = ?
3. (−2)⁴ = ?
3 整式的加减
用字母表示数
我们可以用字母来表示数。比如，用 a 表示苹果的单价，买 5 个苹果需要 5a 元。
用字母表示数后，可以把数量关系简明地表达出来，更具有普遍性。
单项式
由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。
- 如：3x、−2ab²、5（单独一个数或字母也是单项式）
- 系数：单项式中的数字因数。如 3x 的系数是 3，−2ab² 的系数是 −2
- 次数：所有字母的指数的和。如 −2ab² 的次数是 1+2=3
💡 注意：分母中含有字母的不是单项式！如 1/x 不是单项式。
多项式
几个单项式的和叫做多项式。
- 如：2x² − 3x + 1 是一个多项式
- 每个单项式叫做多项式的项，如 2x²、−3x、1 都是项
- 不含字母的项叫做常数项，如上面的 1
- 多项式的次数：最高次项的次数。如 2x²−3x+1 的次数是 2
同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
- 如 3x²y 和 −5x²y 是同类项
- 如 3x²y 和 3xy² 不是同类项（字母的指数不同）
- 几个常数项也是同类项
合并同类项
把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
📝 例题
合并同类项：3x²y − 5x²y + 7x²y
- 找出同类项：3x²y、−5x²y、7x²y（字母和指数都相同）
- 系数相加：3 + (−5) + 7 = 5
- 字母部分不变：5x²y
去括号法则
- 括号前是 "+"：去掉括号后，括号内各项不变号
a + (b − c) = a + b − c - 括号前是 "−"：去掉括号后，括号内各项变号
a − (b − c) = a − b + c
💡 易错点：括号前是负号时，括号里的每一项都要变号！不只是第一项！
a − (b + c) = a − b − c ✓
a − (b + c) = a − b + c ✗（c 没变号！）
a − (b + c) = a − b − c ✓
a − (b + c) = a − b + c ✗（c 没变号！）
✏️ 随堂小练
1. 单项式 −4x²y 的次数是？
2. 合并同类项：5a − 8a = ?
3. 去括号：a − (2b − c) = ?
4 一元一次方程
什么是方程？
含有未知数的等式叫做方程。
- 如 x + 3 = 7 是方程（含未知数 x，且是等式）
- 3 + 4 = 7 不是方程（没有未知数）
- x + 3 不是方程（不是等式）
一元一次方程
只含一个未知数，且未知数的次数是 1的整式方程。
标准形式：ax + b = 0（a ≠ 0）
- "一元"：只有一个未知数
- "一次"：未知数的最高次数是 1
等式的性质
- 等式两边加（或减）同一个数或式子，结果仍相等。
如果 a = b，则 a ± c = b ± c - 等式两边乘（或除以）同一个数（除数不能为 0），结果仍相等。
如果 a = b，则 a × c = b × c，a ÷ c = b ÷ c (c ≠ 0)
解一元一次方程的步骤
📝 例题
解方程：3(x − 2) = 2x + 1
- 去括号：3x − 6 = 2x + 1
- 移项（把含 x 的移到左边，常数移到右边，注意变号）：3x − 2x = 1 + 6
- 合并同类项：x = 7
- 检验：左边 = 3(7−2) = 15，右边 = 2×7+1 = 15 ✓
💡 移项法则：把方程中的某一项从一边移到另一边时，必须变号！
正变负，负变正。这是解方程最核心的一步！
正变负，负变正。这是解方程最核心的一步！
解方程的一般流程
- 去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）
- 去括号（注意括号前是负号时各项变号）
- 移项（跨等号要变号）
- 合并同类项
- 系数化为 1（两边同除以未知数的系数）
✏️ 随堂小练
1. 解方程：x + 8 = 15，x = ?
2. 解方程：2x − 5 = 11，x = ?
3. 解方程：3x = 2x + 9，x = ?
5 几何图形初步
立体图形与平面图形
- 立体图形：各部分不在同一平面内。如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球
- 平面图形：各部分都在同一平面内。如三角形、长方形、圆
点、线、面、体
- 点：无大小，是组成图形的基本元素
- 线：线动成面。直线没有端点，可以向两方无限延伸
- 射线：有一个端点，向一方无限延伸
- 线段：有两个端点，不能延伸
- 面：面动成体
💡 记忆口诀：点动成线，线动成面，面动成体。
直线的基本性质
两点确定一条直线。即经过两点有且只有一条直线。
线段的中点
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。
若 M 是线段 AB 的中点，则 AM = MB = ½ AB
角的概念
由一个顶点引出的两条射线组成的图形叫做角。
- 角的度数单位：度（°）、分（′）、秒（″）
- 1° = 60′，1′ = 60″
- 平角 = 180°，周角 = 360°
- 锐角：小于 90° 的角
- 直角：等于 90° 的角
- 钝角：大于 90° 且小于 180° 的角
角的比较与运算
📝 例题
已知 ∠AOB = 60°，∠BOC = 35°，且 OC 在 ∠AOB 内部，求 ∠AOC。
- OC 在 ∠AOB 内部，所以 ∠AOC = ∠AOB − ∠BOC
- 代入数值：∠AOC = 60° − 35°
- 计算：∠AOC = 25°
余角和补角
- 互为余角：两角之和等于 90°。如 30° 和 60° 互余
- 互为补角：两角之和等于 180°。如 60° 和 120° 互补
💡 重要性质：等角（同角）的余角相等，等角（同角）的补角相等。
✏️ 随堂小练
1. 35° 的余角是多少度？
2. 60° 的补角是多少度？
3. M 是线段 AB 的中点，AB = 10cm，则 AM = ?cm